对偶坐标系

为了写出与坐标无关的公式，引入 “坐标系” 的 “对偶坐标系”。然后用 “度量张量” ，完成两个坐标系之间坐标的变换，常量的计算以及基矢量的变换。指标表示与指标运算特别重要。

1 概念

牢记这里的名称，既可以区分不同坐标系，又方便后面的运算：

协变坐标系	协变坐标	逆变基矢量
$O-x_1x_2x_3$	$x_1,x_2,x_3$	$\pmb{x}^1,\pmb{x}^2,\pmb{x}^3$

逆变坐标系	逆变坐标	协变基矢量
$O-x^1x^2x^3$	$x^1,x^2,x^3$	$\pmb{x}_1,\pmb{x}_2,\pmb{x}_3$

• 协变：一个变量扩大 $n$ 倍，另一个量跟着扩大 $n$ 倍。

• 逆变：一个变量扩大 $n$ 倍，另一个量跟着扩大 $\frac{1}{n}$ 倍。

协变坐标会被写成一行，逆变坐标写成一列。

• 局部坐标系：基矢量的大小和方向将随着坐标点的不同而变化，是空间点的函数。例如曲线坐标系。

• 整体坐标系坐标系：基矢量的大小和方向不会随着坐标点的不同而变化，是常矢量。例如直角坐标系和仿射坐标系。

• 标架：空间一固定点 $O$ 与三个有序基矢量的构型全体。

2 直角坐标系及其对偶坐标系

直角坐标系 $O-x_1x_2x_3$，对应基矢量 $\pmb{a}^i$。直角坐标系的对偶坐标系 $O-x^1x^2x^3$，对应基矢量 $\pmb{a}_i$。

基矢量之间的关系：

1. $\pmb{a}^i$，$\pmb{a}_i$ 都是单位正交基矢量。
2. 直角坐标系与其对偶坐标系一模一样：$\pmb{a}^1=\pmb{a}_1$，$\pmb{a}^2=\pmb{a}_2$，$\pmb{a}^3=\pmb{a}_3$。
3. 基矢量的点积运算可以简化为单位矩阵：

$$\pmb{a}_i\cdot \pmb{a}^j=\delta^j_i=\left[ \begin{matrix} \delta^1_1 & \delta^1_2 & \delta^1_3\\ \delta^2_1 & \delta^2_2 & \delta^2_3\\ \delta^3_1 & \delta^3_2 & \delta^3_3\\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$$ 采用对偶坐标系，是希望在仿射坐标系和曲线坐标系中，建立以上和直角坐标系中同样运算规则。比如说，希望在任何坐标系中 $W=\pmb{F}\cdot \pmb{s}$ 都能求出功，功本来就和坐标系的选择无关。

3 仿射坐标系及其对偶坐标系

仿射坐标系 $O-x_1x_2x_3$，对应基矢量 $\pmb{g}^i$。仿射坐标系的对偶坐标系 $O-x^1x^2x^3$，对应基矢量 $\pmb{g}_i$。 在摄影和景物透视中经常遇到仿射坐标系。仿射坐标系的基矢量既不是单位矢量，也不正交。我们将方宽条件引入其对偶坐标系。

3-1 求出对偶坐标系

我们希望基矢量有以下关系： $$\pmb{g}_i\cdot \pmb{g}^j=\delta^j_i=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]\tag{3-1}$$ 在仿射坐标系中，有: $$\pmb{g}_1\cdot(\pmb{g}_2\times \pmb{g}_3)=V\tag{3-2}$$ 根据式 $(3-1)$ 和 $(3-2)$，可以求出： $$\pmb{g}^1=\frac{1}{V}(\pmb{g}_2\times \pmb{g}_3)\tag{3-3-1}$$ 同理： $$\pmb{g}^2=\frac{1}{V}(\pmb{g}_1\times \pmb{g}_3)\tag{3-3-2}$$ $$\pmb{g}^3=\frac{1}{V}(\pmb{g}_2\times \pmb{g}_1)\tag{3-3-3}$$

3-2 两个坐标系的关系

基矢量分解

基矢量的分解，建立两个坐标之间的变换。

$1$ 个逆变基矢量可以沿着协变基矢量分解成 $3$ 个分量，$3$ 个逆变基矢量可以沿着协变基矢量分解成 $9$ 个分量。协变基矢量同理。用矩阵表示为：

$$\left[ \begin{matrix} \pmb{g}_1 \\ \pmb{g}_2 \\\pmb{g}_3 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} g_{11} & g_{12} & g_{13}\\ g_{21} & g_{22} & g_{23}\\ g_{31} & g_{32} & g_{33} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \pmb{g}^1\\ \pmb{g}^2\\ \pmb{g}^3 \end{matrix} \right]\tag{3-4}$$ $$g_{ij}=\left[ \begin{matrix} g_{11} & g_{12} & g_{13}\\ g_{21} & g_{22} & g_{23}\\ g_{31} & g_{32} & g_{33} \end{matrix} \right]\tag{3-5}$$

$g_{ij}$ 称为度量张量，可以将指标降低，即将逆变基矢量变成协变基矢量。

同理，有 $g^{ij}$ 实现指标升高：

$$\left[ \begin{matrix} \pmb{g}^1\\ \pmb{g}^2\\ \pmb{g}^3 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} g^{11} & g^{12} & g^{13}\\ g^{21} & g^{22} & g^{23}\\ g^{31} & g^{32} & g^{33} \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} \pmb{g}_1 \\ \pmb{g}_2 \\\pmb{g}_3 \end{matrix} \right] \tag{3-6}$$

坐标变换

度量张量可以实现基变换，也可以实现坐标变换。根据式 $(3-5)$，在逆变坐标系 $O-x^1x^2x^3$ 下的一个矢量 $\pmb{v}$ 可以表示为：

$$\left[ \begin{matrix} v^1 & v^2 & v^3 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} \pmb{g}_1 \\ \pmb{g}_2 \\\pmb{g}_3 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} v^1 & v^2 & v^3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} g_{11} & g_{12} & g_{13}\\ g_{21} & g_{22} & g_{23}\\ g_{31} & g_{32} & g_{33} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} \pmb{g}^1\\ \pmb{g}^2\\ \pmb{g}^3 \end{matrix} \right]\tag{3-7}$$

有坐标变换公式：

$$\left[ \begin{matrix} v_1 & v_2 & v_3 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} v^1 & v^2 & v^3 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} g_{11} & g_{12} & g_{13}\\ g_{21} & g_{22} & g_{23}\\ g_{31} & g_{32} & g_{33} \end{matrix} \right] \tag{3-8}$$

度量张量

以物理公式 $W=\pmb{F}\cdot \pmb{s}$ 为例，看度量张量的好处。

如果将 $F$ 和 $s$ 都用逆变坐标表示，那么：

$$W=\pmb{F}\cdot \pmb{s}=f^is^j\pmb{g}_i\cdot \pmb{g}_j\tag{3-9}$$

在仿射坐标系中，$\pmb{g}_i\cdot \pmb{g}_j=1$ 不一定成立，但是我们希望物理定律，可以用一个不管在哪个坐标系中都一样的公式表示。

可以将两个向量一个用协变坐标表示，一个用逆变坐标表示。

$$W=\pmb{F}\cdot \pmb{s}=f^is^j\pmb{g}_i\cdot \pmb{g}_j=f^is^jg_{ij}\pmb{g}^j\cdot \pmb{g}_j\tag{3-10}$$ 我不会指标运算，这边根本不会用指标表示。是吧，会用指标运算很重要。