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数值计算中的精度

。 # 1 数值计算的精度 ## 1-1 数值格式的收敛精度数值解

{\tilde{u}}_{h}

$\tilde{u}_h$ 精确解

u

$u$ 之间的差值一般和一个参数

h

$h$ 相关。

C

$C$ 是与

h

$h$ 无关的常数，

p

$p$ 是收敛精度。

{\tilde{u}}_{h} - u = C h^{p} + O (h^{p + 1})

$\tilde{u}_h - u = C h^p + O(h^{p+1})$ ## 1-2 CFD 的收敛精度的计算 CFD 在时间和空间中离散，

m i n (p, q)

$min(p,q)$ 决定了收敛精度的大小。

R (Δ x, Δ t) - E (Δ x, Δ t) = O (Δ x^{p + 1}, Δ t^{q + 1})

$R(\Delta x,\Delta t)-E(\Delta x,\Delta t)=O(\Delta x^{p+1},\Delta t^{q+1})$ 采用不同尺寸的网格

R (Δ x)

$R(\Delta x)$ 、

R (\frac{1}{2} Δ x)

$R(\frac{1}{2}\Delta x)$ 、

R (\frac{1}{4} Δ x)

$R(\frac{1}{4}\Delta x)$ ，得到误差函数随网格尺寸

h

$h$ 的变化关系：

R (Δ x, Δ t) = E (Δ x, Δ t) + O (Δ x^{p + 1}, Δ t^{q + 1}) \approx C Δ x^{p}

$R(\Delta x,\Delta t)=E(\Delta x,\Delta t)+O(\Delta x^{p+1},\Delta t^{q+1}) \approx C \Delta x^{p}$

所以：

\frac{R (Δ x)}{R (\frac{1}{2} Δ x)} = \frac{C Δ x^{p}}{C (\frac{1}{2} Δ x)^{p}}

$\frac{R(\Delta x)}{R(\frac{1}{2}\Delta x)}=\frac{C \Delta x^{p}}{C(\frac{1}{2}\Delta x)^{p}}$

故：

p = \frac{l o g \frac{R (Δ x)}{R (\frac{1}{2} Δ x)}}{l o g 2}

$p = \frac{log\frac{R(\Delta x)}{R(\frac{1}{2}\Delta x)}}{log2}$

数值计算中的精度

缪红林

2021-10-08

2021-10-09