数值计算中的精度

。 # 1 数值计算的精度 ## 1-1 数值格式的收敛精度 数值解 $\tilde{u}_h$ 精确解 $u$ 之间的差值一般和一个参数 $h$ 相关。$C$ 是与 $h$ 无关的常数，$p$ 是收敛精度。 $$\tilde{u}_h - u = C h^p + O(h^{p+1})$$ ## 1-2 CFD 的收敛精度的计算 CFD 在时间和空间中离散，$min(p,q)$ 决定了收敛精度的大小。 $$R(\Delta x,\Delta t)-E(\Delta x,\Delta t)=O(\Delta x^{p+1},\Delta t^{q+1})$$ 采用不同尺寸的网格$R(\Delta x)$、$R(\frac{1}{2}\Delta x)$、$R(\frac{1}{4}\Delta x)$，得到误差函数随网格尺寸 $h$ 的变化关系： $$R(\Delta x,\Delta t)=E(\Delta x,\Delta t)+O(\Delta x^{p+1},\Delta t^{q+1}) \approx C \Delta x^{p}$$

所以：

$$\frac{R(\Delta x)}{R(\frac{1}{2}\Delta x)}=\frac{C \Delta x^{p}}{C(\frac{1}{2}\Delta x)^{p}}$$

故：

$$p = \frac{log\frac{R(\Delta x)}{R(\frac{1}{2}\Delta x)}}{log2}$$